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もっとも美しい対称性

ある特定の不変性のもとで変化するものの構造を探る数学の分野に「群論」というものがある。不変であることと対称であることは関連があって、何かを不変にする操作、変換、運動は、対称的な構造をもっている。たとえば、正三角形の形を不変にする操作は、重心を軸に120度回転させる操作(回転対称)と、頂点から底辺に垂直に落とした線を基準に裏返す操作(鏡映対称)の組み合わせで構成される。

symmetry.png


これらの操作をすべて数え上げると全部で6種類ある{120度回転、240度回転、裏返す、120度回転して裏返す、240度回転して裏返す、なにもしない}。そして、これらの操作の組み合わせはまたその操作のどれか一つになっている。たとえば、「裏返す」の後に「120度回転」する操作の合成は、「240度回転して裏返す」操作になっている。「群」とはこのような操作の集合であって、その組み合わせもその集合の一部になっているもののことである。正三角形の場合は6つ操作(元)からなる群であったけれど、同じような群が他の正多角形についても存在する(元の数はもっと多くなる)。このような有限の操作からなる群を有限群という。さらに正多角形を円にすると操作の数は無限個になる(円は回転という操作に対して不変で、0度から360度までの回転は無限個ある)。そのような群を無限群という。

さてこれらの群について、群に関わってきた数学者の逸話を通して解説した本にイアン・スチュアート著の『もっとも美しい対称性』がある。この本は紀元前の古代バビロニア時代からはじまるので最初は退屈だが,18世紀の数学者ガウスや群論の生みの親であるガロアが出てくるあたりから面白くなってくる。ハミルトンが苦心して四元数を考えだした話や、ほとんど知られていないが群の分類という重要な仕事をしたキリングの話なども新鮮であった。その後は、物理学との関連で話が進みアインシュタインの相対性理論から超ひも理論まで解説されている。最新の理論によれば宇宙は八元数からつくられる群で記述できるらしく、宇宙は数学的に美しい構造をしているという信念が語られている。

もっとも美しい対称性もっとも美しい対称性
(2008/10/16)
イアン・スチュアート

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2011.07.11 | | Comments(0) | Trackback(0) | その他の本

模型は心を持ちうるか 2

前回からだいぶ間があいてしまいましたが、『模型は心を持ちうるか』を読んで驚いたことがあるので書いておきます。それはプレディクティブ・コーディングに近い考え方をブライテンベルクが持っていたことです。

13番目に登場する模型は予測(本書では予見または予言とよばれている)装置を持っています。この装置は環境が移り変わる規則と同じような規則で常に環境の変化を予測しています。予測と環境からの入力が食い違う場合が起きると、環境からの入力を信じるようにスイッチが切り替わります。そして今後もっと予測がうまく行くように装置を学習させる機構が働きます。プレディクティブ・コーディングでは予測と入力のオンオフで切り替わったりしませんが、本質的なアイディアは似ています。
この装置がプレディクティブ・コーディングと最も異なるところは、予測と入力が異なると判断をした後で入力を信じなくてはならなくなっときに、その入力がすでに一時刻後のものになっているため、逐次入力を短時間保存しておく記憶装置が必要であるということです。

予測という考えが出てきた背景には、ただのヘブ側ではうまく模型(生物)が環境に適応するようにならないだろうという考察があるようです。同じことが強化学習で有名なサットンとバルトの論文(1981)にも載っているそうです。予測に関するブライテンベルクの考えは1973年の論文に載っていて、「同じことを考えた人は他にもいるだろう」と書かれているので、環境を認識するうえで予測が必要という考えは昔からあったようです。

2008.02.08 | | Comments(0) | Trackback(0) | その他の本

模型は心を持ちうるか 1

ブライテンベルク著 "VEHICLES : EXPERIMENTS IN SYNTHETIC PSYCHOLOGY"の邦訳『模型は心を持ちうるか―人工知能・認知科学・脳生理学の焦点』を紹介する。もう既に古典と呼ばれる本かもしれない。だが心を機能的に理解したいと思っている人には一読の価値があると思う。

この本は2部構成になっている。1部ではモーターとセンサーがついた単純な模型で生物の行動を模倣させることを考える。徐々に新たなメカニズムを追加していって、より複雑な行動を模倣させていく。2部ではそのメカニズムの根拠となった神経科学、心理学的な知見を紹介する。結局、最後まで邦訳の題名に対する答えは載っていないが、心を理解するために欠かせない重要なアプローチが本書を通して書かれている。つまり構成的な方法である。

1部で登場する模型は1号から14号までの14種類である。1号はもっとも単純な模型で、ひとつのセンサーがひとつのモーターに接続されている。センサーが高い温度を感知すると前に進み、寒い場所では停止する。この模型を観測すると、暖かいところでは落ち着きなく動き回って、快適な寒い場所を見つけようとしているとみえるかもしれない。

2号はセンサーとモーターが2つずつ付いた模型である。2号aは左のモーターに左のセンサーが接続され、右のモーターに右のセンサーが接続されている。そのセンサーは光を感知し、光が強いほどモーターを速く回転させる。2号aの左側に光源があると、左側のモーターの方がより早く回転し、2号aは光源から遠ざかろうとする。
2号bは左のモーターに右のセンサーが接続され、右のモーターに左のセンサーが接続されている。2号aとは対照的に、2号bは光源にぶつかるまで近づいていく。2号aと2号bはどちらも光源が嫌いだがその対処の仕方が異なる。2号aは光源から逃げるが、2号bは光源を破壊しようとする。

このように模型を徐々に複雑にして、より生物らしい行動ができるように改良していく。その過程でこのアプローチについての哲学的な意見が書かれている。それは「登りの分析・下りの発明の法則 (law of uphill analysis and downhill invention)」である。何らかの行動をさせることができる機械を作ることは簡単であるが、それに比べ機械の振る舞いを観測してその内部構造を推測しようとすることははるかに難しいということである。

もうひとつの哲学的な分析は、われわれは生物の複雑な振る舞いを見て、きっと内部構造はとても複雑なんだろうと考えがちになるということである。「下りの発明」から非常に単純な仕組みで複雑な振る舞いを行わせることができるとわかるのである。


【“模型は心を持ちうるか 1”の続きを読む】

2007.12.19 | | Comments(0) | Trackback(0) | その他の本

「動玉箱の中でなにがなにを?」? 続き

前回に引き続き、ダグラス・ホフスタッター著『メタマジカル・ゲーム』の25章「動玉箱の中でなにがなにを?」を取り上げます。前回は、亀がアキレスに「私」とか「自己」とかを説明するために、動玉箱、シムボール、心震計など導入したことを書きました。今回はいよいよ「私」を生み出すシステムについての亀の説明を紹介します。

アキレス:どの人がその動玉箱に「なる」んだろう?どの動玉箱がある与えられた魂をもつようになるんだろうか?
亀:どうやら君は空中に魂を集めた檻が浮かんでいて、新しい頭あるいは動玉箱が生まれるごとに神様がそこから魂を一つずつ取りだして、それをその動玉箱や頭に吹き込むといったイメージを思い描いているようだね。



亀によればアキレスの考え方は逆さまだという。

アキレス:うーん、動玉箱内の玉の塊や、さらにはニューロン発火の集まりでも、どこからそれらに「自分」という感覚が生じるかがわからないんだ。物理的対象を「存在」とならしめるには「炎」が必要なんだよ。
亀:それぞれの火の自己同一性を規定するのはそれをともした炎ではなくて、燃料の材料だ。



亀の「私」についての説明:
動玉箱をある誰かにするなんらかの決定があるのではなく、動玉箱があるが故にそこに特定の誰かが生じる。動玉箱がどの誰かになるのはその構造、とくに自分自身を内部に表現する仕方に依存する。自分自身を整合的な行為者として見ることで、また、独自の自我の感覚を十分に作り上げることによって、誰かを作り上げる。時間が経過して自分の構成要素が変化しても、自分を同一な自己と見なす能力によって、完璧な誰かとなる。
観測者がある対象(有機体)を理性に基づいて行動する整合的な存在と見ることを、その対象に対して「志向的立場をとる」と呼ぶ。自分自身を理解する最も良い方法は、自分自身に欲求とか信念とかを帰属させることであり、これは自分自身に対して「志向的立場をとる」ということであるのでこれを「自己志向的立場をとる」という。有機体が一度、自己志向的立場をとると、何度も自分自身の表現を繰り返すようになり、自己同一性の幻想が強化され、固定化される。幻想が固定化されシステムの一部になってしまえば、それを参照せずには自分自身を説明できなくなり、もはや幻想ではなくなる。

亀:本当に大切なのは、「私性」を支えるのは「一つの機構」だけだということなんだ。つまり、システム自体の複雑な表現が、世界のその他の部分の表現となって循環するっていうことさ。



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2007.05.13 | | Comments(0) | Trackback(0) | その他の本

「動玉箱の中でなにがなにを?」?

ダグラス・ホフスタッターの著書『メタマジック・ゲーム』の25章「動玉箱の中でなにがなにを?」を今回と次回にわけて取り上げていきます。この物語で「意識」や「自由意志」や「自己」についてのホフスタッターの考えがまとめられていると思います。英語の題名は "Who Shoves Whom Around Inside the Careenium?" です。動玉箱がCareeniumに対応するみたいですが、この単語はcranium(頭蓋)をもじったホフスタッターの造語でしょう。この章では『ゲーデル・エッシャー・バッハ』で活躍したアキレスと亀が再び登場します。

アキレスの次の問いから話が進みます。

アキレス:結局のところ、この頭の中ではいったい誰が誰を動かしているんだろう?
亀:分子が君のすべてなんだよ!
アキレス:君の解釈は逆さまで、分子が僕を動かしているんじゃなくて、本当は僕が分子を動かしているんじゃないかい?


ここから亀の講釈が続きます。亀曰く、「自由意志」とは「脳に備わっている一定の動きをとろうとする傾向の複雑な集まりを指す略語」だそうです。さらに脳を動玉箱というアナロジーを用いて説明しています。
動玉箱の中ではたくさんの小さな玉が高速で飛び交っていて、さらにもっと大きく硬い無機質な細片も動玉箱の中にあり、これが玉の飛ぶ方向に影響を与えている。そして、この無機質な細片を「"し"なやかな"無"機質片」、略して「シム」と呼び、これもぶつかってくる玉に影響をうけてゆっくりと形を変える。動玉箱の中を短い時間スケールでのぞいてみると、たくさんの玉が飛び交っているのが見える。長い時間スケールにすると、小さな玉は速すぎて見ることができず、シムだけが動いているように見える。ときにはシムがひと塊の玉を包み込んで環状構造を作ることもある。これを「シムボール」と呼ぶ。シムボールの配置のことを「記憶」とか「知能」とか「観念」というふうに解釈することもできる。

アキレス:問題は、動玉箱の中のこれらの動脈からは「私」が見えてこない、ということなんだ。
アキレス:魂とかそういったものが入り込む余地はないなんてことは、もうこれまでに何度となく聞かされたさ。だけど、僕には僕がいるということがわかる。これは否定できない「事実」だよ。だから、たんに僕の肉体は物理法則に従うというだけじゃなくてそれ以上の洞察がほしいんだ。この「私」という感じ、僕にも君にもあるけれども、石には「ない」感じ、こいつはいったいどこからくるんだろう?


また亀の説明が始まります。
例えば、動玉箱に人工の目と口がついていて、動玉箱の側で緑色の明かりをともしたとしよう。そうすると玉の活動が始まり、シムボールの再配置が引き起こされる。シムボールが定常位置におさまると「緑色の光が見える」というかもしれない。
知覚というのは、「外にある」なにかを内部に映し出すことである。私たちが知っているのは自分の内部状態のことだけだが、私たちは私たちの知覚を支える脳の内部活動には気がつかないようにできている。そして、外に指し示されるべきものがないかもしれないのに自分自身をだまして外に投影している。

ちょっと話がかわって、

アキレス:「シムボール」を見張っていてシムボール活動の「表現」を作り出すような、内向きの変換器というものがあるのかな?


それがあるとして

アキレス:どうやってシムボールを「見る」んだい? 、、、、
そもそも、そういうシムボールはどういう目的であるんだろう?


亀の説明は次の通りです。
シムボールの位置ずれによってシステム全体に震えが生じる。その震えを「心震」と呼ぶことにする。「心震」にはそれぞれ固有の特徴があって、動玉箱の中にはその特徴をとらえる心震計シムボールがある。心震計もシムボールに他ならないから、また別の震えを引き起こす。つまり、常にシムボールの活動が動玉箱内をいったりきたりしているのである。これが意識のあるシステムで起こっていることである。そして、自分自身を監視できる動物は、周囲環境の精巧な表現を内部にもつことができるため、行動の選択に幅がある。そういうものを「思慮」とか「熟考」とか「内省」と呼んで「反射」から区別することができる。

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2007.04.27 | | Comments(0) | Trackback(0) | その他の本

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