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逆行列 トリビアルかもしれませんが

以前計算した数式を検算していて、ぐちゃぐちゃだった式が実はこのような形をしていることに気がつきました

X^-1 (X + Y^-1)^-1 Y.     (1)

これはもしやきれいになるのではと思って、親切な人たちがまとめてくれた行列演算のPDFを見てみると、

(A + B)^-1 = A^-1 (A^1 + B^1)^-1 B^-1     (2) 

という公式がありました。ここでABも正方行列で逆行列がとれるとします。
これで式(1)は、

X^-1 + Y

となってすっきりしました。

ところで、逆行列の公式には他に、

(A + C B C')^-1
 = A^-1 - A^-1 C(C' A^-1 C + B^-1)^-1 C' A^-1     (3)

というものがあります。'は転置を表します。Cが単位行列のとき、式(2)と(3)は等しいのでしょうか。(3)はA^-1がひとり外に飛び出していて一見等しいようには見えません。そこで(2)と(3)を引き算してみると、、、
零行列になりました。

これはとても小さな例ですが、科学的な発見などで全く違うように見えるものが実は同じものだったりしたときはとても感動します。そんなものをいつか見つけたいですね。


今回はTeX調に数式を書いてみましたが、やっぱり見にくいです。どうにかならないのでしょうか。

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2006.03.01 | | Comments(0) | Trackback(0) | 雑記

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