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もっとも美しい対称性

ある特定の不変性のもとで変化するものの構造を探る数学の分野に「群論」というものがある。不変であることと対称であることは関連があって、何かを不変にする操作、変換、運動は、対称的な構造をもっている。たとえば、正三角形の形を不変にする操作は、重心を軸に120度回転させる操作(回転対称)と、頂点から底辺に垂直に落とした線を基準に裏返す操作(鏡映対称)の組み合わせで構成される。

symmetry.png


これらの操作をすべて数え上げると全部で6種類ある{120度回転、240度回転、裏返す、120度回転して裏返す、240度回転して裏返す、なにもしない}。そして、これらの操作の組み合わせはまたその操作のどれか一つになっている。たとえば、「裏返す」の後に「120度回転」する操作の合成は、「240度回転して裏返す」操作になっている。「群」とはこのような操作の集合であって、その組み合わせもその集合の一部になっているもののことである。正三角形の場合は6つ操作(元)からなる群であったけれど、同じような群が他の正多角形についても存在する(元の数はもっと多くなる)。このような有限の操作からなる群を有限群という。さらに正多角形を円にすると操作の数は無限個になる(円は回転という操作に対して不変で、0度から360度までの回転は無限個ある)。そのような群を無限群という。

さてこれらの群について、群に関わってきた数学者の逸話を通して解説した本にイアン・スチュアート著の『もっとも美しい対称性』がある。この本は紀元前の古代バビロニア時代からはじまるので最初は退屈だが,18世紀の数学者ガウスや群論の生みの親であるガロアが出てくるあたりから面白くなってくる。ハミルトンが苦心して四元数を考えだした話や、ほとんど知られていないが群の分類という重要な仕事をしたキリングの話なども新鮮であった。その後は、物理学との関連で話が進みアインシュタインの相対性理論から超ひも理論まで解説されている。最新の理論によれば宇宙は八元数からつくられる群で記述できるらしく、宇宙は数学的に美しい構造をしているという信念が語られている。

もっとも美しい対称性もっとも美しい対称性
(2008/10/16)
イアン・スチュアート

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2011.07.11 | | Comments(0) | Trackback(0) | その他の本

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